Como calcular o valor presente da perpetuidade

O conceito parece complexo, mas o mecanismo é simples

(Artigo revisado e atualizado em 08-10-2019)

Masakazu Hoji (*)

Perpetuidade pode ser entendida como um valor que se repete indefinidamente em intervalos regulares. Pode ser um valor fixo (perpetuidade sem crescimento) ou um valor com crescimento constante (perpetuidade com crescimento).

O conceito de perpetuidade é utilizado principalmente em análises de investimentos e valuation (avaliação de empresa), para conhecer a soma do valor atual dos infinitos valores futuros.

Apesar de o conceito de perpetuidade parecer complexo, seu mecanismo e as fórmulas para calcular o valor presente de uma perpetuidade são bastante simples. As fórmulas, com e sem taxa de crescimento, são as seguintes:

Ao aplicar a fórmula, o valor presente da perpetuidade (VPP) é calculado para o período inicial (período zero), assumindo que a primeira perpetuidade inicia-se no período 1 (período seguinte).

O mais incrível é que essa fórmula simples funciona eficientemente e pode ser comprovada matematicamente.

Perpetuidade sem crescimento

Suponha que uma empresa projeta um lucro anual constante de R$ 1.000, sem crescimento. Temos aí um caso de perpetuidade no valor de R$ 1.000. Conhecendo o custo de oportunidade ou taxa de desconto (suponha uma taxa de 12% ao ano), o VPP pode ser calculado de acordo com a fórmula apresentada.

Nessas condições, o valor da empresa é de R$ 8.333.

Conforme mostra o gráfico abaixo, o valor fixo de R$ 1.000 tende ao infinito (N indica uma data tendendo ao infinito), e cada uma das parcelas infinitas da perpetuidade é descontada para o momento inicial (resultando em valor presente). A soma dessas parcelas descontadas é de R$ 8.333.

Representação gráfica de perpetuidade sem crescimento

Perpetuidade com crescimento

Suponha, agora, que o lucro de R$ 1.000 do Ano 1 tenha perspectiva de crescimento constante de 2%. Nesse caso, temos uma perpetuidade no valor de R$ 1.000 com taxa de crescimento de 2% a cada período. O VPP calculado de acordo com a fórmula é R$ 10.000.

O gráfico abaixo mostra que cada uma das parcelas da perpetuidade, que se inicia com R$ 1.000, sofrerá crescimento de 2% sobre o valor anterior, a cada período, indefinidamente. Por exemplo, do período 1 ao período 2, haverá crescimento de 2% sobre R$ 1.000,00 (no valor de R$ 20,00), totalizando R$ 1.020,00; do período 2 ao período 3, haverá crescimento de 2% sobre R$ 1.020,00 (no valor de R$ 20,40), totalizando R$ 1.040,40; e assim por diante. E cada um desses "valores futuros" é descontado para o momento inicial com a taxa de desconto de 12% ao período (veja detalhes na planilha abaixo), representando o respectivo "valor presente". A soma de todos os valores descontados (em valor presente) é R$ 10.000. 

Representação gráfica de perpetuidade com crescimento

Comprovação matemática da fórmula de perpetuidade

Vamos comprovar a fórmula da perpetuidade utilizando o exemplo da perpetuidade com taxa de crescimento. Vamos descontar cada um dos valores calculados com acréscimo anual de 2%, conforme mostra a representação gráfica.

No quadro a seguir, vamos fazer os cálculos para o período de 140 anos. Depois de atualizados os valores com a taxa de crescimento, é só calcular o valor presente de cada um deles para o Ano zero (data do valor presente). Se somar os valores da coluna "perpetuidade descontada", o total será de R$ 10.000, o que comprova que a fórmula da perpetuidade funciona matematicamente.

Em função da capitalização composta da taxa de desconto, o fator de desconto vai ficando tão grande que o valor presente da perpetuidade tenderá a zero. Conforme pode ser observado no quadro, no Ano 74, o valor descontado valerá menos de R$ 1, e no Ano 131, o valor descontado será zero. 

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A "perpetuidade com crescimento" foi calculada como segue:

    perpetuidade atual = perpetuidade anterior x (1 + taxa de crescimento)

   Exemplo: R$ 1.000,00 x 1,02 = R$ 1.020,00;

                   R$ 1.020,00 x 1,02 = R$ 1.040,40.

E assim por diante. 

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O "fator de desconto" é calculado com a clássica fórmula: (1 + i)^n.

Exemplo: 1,12^1 = 1,120000; 1,12^2 = 1,254400; e assim por diante. 

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A "perpetuidade descontada" é calculada dividindo a "perpetuidade com crescimento" pelo respectivo "fator de desconto".

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(*) Masakazu Hoji é ex-professor da Universidade Presbiteriana Mackenzie.

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