Como calcular o valor presente da perpetuidade

O conceito parece complexo, mas o mecanismo é simples

Masakazu Hoji (*)

Perpetuidade pode ser entendida como um valor que se repete indefinidamente em intervalos regulares. Pode ser um valor fixo (perpetuidade sem crescimento) ou um valor com crescimento constante (perpetuidade com crescimento).

O conceito de perpetuidade é utilizado principalmente em análises de investimentos e valuation (avaliação de empresa), para conhecer a soma do valor atual dos infinitos valores futuros.

Apesar de o conceito de perpetuidade parecer complexo, seu mecanismo e as fórmulas para calcular o valor presente de uma perpetuidade são bastante simples. As fórmulas, com e sem taxa de crescimento, são as seguintes:

 

Valor presente da perpetuidade sem crescimento

=

Perpetuidade

Taxa de desconto

     
     

Valor presente da perpetuidade com crescimento

=

Perpetuidade

Taxa de desconto - Taxa de crescimento

 

Ao aplicar a fórmula, o valor presente da perpetuidade (VPP) é calculado para o período inicial (período zero), assumindo que a primeira perpetuidade inicia-se no período 1 (período seguinte).

O mais incrível é que essa fórmula simples funciona eficientemente e pode ser comprovada matematicamente.

 

Perpetuidade sem crescimento

Suponha que uma empresa projeta um lucro anual constante de R$ 1.000, sem crescimento. Temos aí um caso de perpetuidade no valor de R$ 1.000. Conhecendo o custo de oportunidade ou taxa de desconto (suponha uma taxa de 12% ao ano), o VPP pode ser calculado de acordo com a fórmula apresentada.

VPP sem crescimento =

1.000

 =  8.333

0,12

Nessas condições, o valor da empresa é de R$ 8.333.

Conforme mostra o gráfico abaixo, o valor fixo de R$ 1.000 tende ao infinito (N indica uma data tendendo ao infinito), e cada uma das parcelas infinitas da perpetuidade é descontada para o momento inicial (resultando em valor presente). A soma dessas parcelas descontadas é de R$ 8.333.

 

Representação gráfica de perpetuidade sem crescimento

perpetuidade sem crescimento

 

Perpetuidade com crescimento

Suponha, agora, que o lucro de R$ 1.000 do Ano 1 tenha perspectiva de crescimento constante de 2%. Nesse caso, temos uma perpetuidade no valor de R$ 1.000 com taxa de crescimento de 2%. O VPP calculado de acordo com a fórmula é R$ 10.000.

 

VPP com crescimento =

1.000

= 10.000

0,12 - 0,02

 

O gráfico abaixo mostra que cada uma das parcelas da perpetuidade, que iniciou com R$ 1.000, sofreu crescimento de 2% sobre o valor anterior, a cada período, indefinidamente. E cada um desses valores é descontado para o momento inicial, cuja soma é R$ 10.000. 

 

Representação gráfica de perpetuidade com crescimento

 perpetuidade com crescimento

 

Comprovação matemática da fórmula de perpetuidade

Vamos comprovar a fórmula da perpetuidade utilizando o exemplo da perpetuidade com taxa de crescimento. Vamos descontar cada um dos valores calculados com acréscimo anual de 2%, conforme mostra a representação gráfica.

No quadro a seguir, vamos fazer os cálculos para o período de 140 anos. Depois de atualizados os valores com a taxa de crescimento, é só calcular o valor presente de cada um deles para o Ano zero (data do valor presente). Se somar os valores da coluna "perpetuidade descontada", o total será de R$ 10.000, o que comprova que a fórmula da perpetuidade funciona matematicamente.

Em função da capitalização composta da taxa de desconto, o fator de desconto vai ficando tão grande que o valor presente da perpetuidade tende a zero. Conforme pode ser observado no quadro, no Ano 74, o valor descontado vale menos de R$ 1, e no Ano 131, o valor descontado é zero. 

 

 

Ano

Perpetuidade com crescimento

Fator de   desconto

Perpetuidade descontada

0

 

1,000000

-

1

1.000,00

1,120000

892,86

2

1.020,00

1,254400

813,14

3

1.040,40

1,404928

740,54

4

1.061,21

1,573519

674,42

5

1.082,43

1,762342

614,20

6

1.104,08

1,973823

559,36

7

1.126,16

2,210681

509,42

8

1.148,69

2,475963

463,93

9

1.171,66

2,773079

422,51

10

1.195,09

3,105848

384,79

11

1.218,99

3,478550

350,43

12

1.243,37

3,895976

319,14

13

1.268,24

4,363493

290,65

14

1.293,61

4,887112

264,70

15

1.319,48

5,473566

241,06

16

1.345,87

6,130394

219,54

17

1.372,79

6,866041

199,94

18

1.400,24

7,689966

182,09

19

1.428,25

8,612762

165,83

20

1.456,81

9,646293

151,02

21

1.485,95

10,803848

137,54

22

1.515,67

12,100310

125,26

23

1.545,98

13,552347

114,07

24

1.576,90

15,178629

103,89

25

1.608,44

17,000064

94,61

26

1.640,61

19,040072

86,17

27

1.673,42

21,324881

78,47

28

1.706,89

23,883866

71,47

29

1.741,02

26,749930

65,09

30

1.775,84

29,959922

59,27

31

1.811,36

33,555113

53,98

32

1.847,59

37,581726

49,16

33

1.884,54

42,091533

44,77

34

1.922,23

47,142517

40,77

35

1.960,68

52,799620

37,13

36

1.999,89

59,135574

33,82

37

2.039,89

66,231843

30,80

38

2.080,69

74,179664

28,05

39

2.122,30

83,081224

25,54

40

2.164,74

93,050970

23,26

41

2.208,04

104,217087

21,19

42

2.252,20

116,723137

19,30

43

2.297,24

130,729914

17,57

44

2.343,19

146,417503

16,00

45

2.390,05

163,987604

14,57

46

2.437,85

183,666116

13,27

47

2.486,61

205,706050

12,09

48

2.536,34

230,390776

11,01

49

2.587,07

258,037669

10,03

50

2.638,81

289,002190

9,13

51

2.691,59

323,682453

8,32

52

2.745,42

362,524347

7,57

53

2.800,33

406,027269

6,90

54

2.856,33

454,750541

6,28

55

2.913,46

509,320606

5,72

56

2.971,73

570,439078

5,21

57

3.031,17

638,891768

4,74

58

3.091,79

715,558780

4,32

59

3.153,62

801,425833

3,94

60

3.216,70

897,596933

3,58

61

3.281,03

1.005,308566

3,26

62

3.346,65

1.125,945593

2,97

63

3.413,58

1.261,059065

2,71

64

3.481,86

1.412,386152

2,47

65

3.551,49

1.581,872491

2,25

66

3.622,52

1.771,697189

2,04

67

3.694,97

1.984,300852

1,86

68

3.768,87

2.222,416954

1,70

69

3.844,25

2.489,106989

1,54

70

3.921,14

2.787,799828

1,41

71

3.999,56

3.122,335807

1,28

72

4.079,55

3.497,016104

1,17

73

4.161,14

3.916,658036

1,06

74

4.244,36

4.386,657001

0,97

75

4.329,25

4.913,055841

0,88

76

4.415,84

5.502,622542

0,80

77

4.504,15

6.162,937247

0,73

78

4.594,24

6.902,489716

0,67

79

4.686,12

7.730,788482

0,61

80

4.779,84

8.658,483100

0,55

81

4.875,44

9.697,501072

0,50

82

4.972,95

10.861,20120

0,46

83

5.072,41

12.164,54534

0,42

84

5.173,86

13.624,29079

0,38

85

5.277,33

15.259,20568

0,35

86

5.382,88

17.090,31036

0,31

87

5.490,54

19.141,14761

0,29

88

5.600,35

21.438,08532

0,26

89

5.712,35

24.010,65556

0,24

90

5.826,60

26.891,93422

0,22

91

5.943,13

30.118,96633

0,20

92

6.062,00

33.733,24229

0,18

93

6.183,24

37.781,23136

0,16

94

6.306,90

42.314,97913

0,15

95

6.433,04

47.392,77662

0,14

96

6.561,70

53.079,90982

0,12

97

6.692,93

59.449,49900

0,11

98

6.826,79

66.583,43888

0,10

99

6.963,33

74.573,45154

0,09

100

7.102,59

83.522,26573

0,09

101

7.244,65

93.544,93761

0,08

102

7.389,54

104.770,3301

0,07

103

7.537,33

117.342,7697

0,06

104

7.688,08

131.423,9021

0,06

105

7.841,84

147.194,7704

0,05

106

7.998,67

164.858,1428

0,05

107

8.158,65

184.641,1199

0,04

108

8.321,82

206.798,0543

0,04

109

8.488,26

231.613,8209

0,04

110

8.658,02

259.407,4794

0,03

111

8.831,18

290.536,3769

0,03

112

9.007,81

325.400,7421

0,03

113

9.187,96

364.448,8312

0,03

114

9.371,72

408.182,6909

0,02

115

9.559,16

457.164,6138

0,02

116

9.750,34

512.024,3675

0,02

117

9.945,35

573.467,2916

0,02

118

10.144,25

642.283,3666

0,02

119

10.347,14

719.357,3705

0,01

120

10.554,08

805.680,2550

0,01

121

10.765,16

902.361,8856

0,01

122

10.980,47

1.010.645,312

0,01

123

11.200,08

1.131.922,749

0,01

124

11.424,08

1.267.753,479

0,01

125

11.652,56

1.419.883,897

0,01

126

11.885,61

1.590.269,964

0,01

127

12.123,32

1.781.102,360

0,01

128

12.365,79

1.994.834,643

0,01

129

12.613,10

2.234.214,800

0,01

130

12.865,37

2.502.320,577

0,01

131

13.122,67

2.802.599,046

0,00

132

13.385,13

3.138.910,931

0,00

133

13.652,83

3.515.580,243

0,00

134

13.925,89

3.937.449,872

0,00

135

14.204,40

4.409.943,857

0,00

136

14.488,49

4.939.137,120

0,00

137

14.778,26

5.531.833,574

0,00

138

15.073,83

6.195.653,603

0,00

139

15.375,30

6.939.132,035

0,00

140

15.682,81

7.771.827,879

0,00

SOMA

   

10.000

 

.

A "perpetuidade com crescimento" foi calculada como segue:

    perpetuidade atual = perpetuidade anterior x (1 + taxa de crescimento)

   Exemplo: R$ 1.000,00 x 1,02 = R$ 1.020,00;

                   R$ 1.020,00 x 1,02 = R$ 1.040,40.

E assim por diante. 

.

O "fator de desconto" é calculado com a clássica fórmula: (1 + i)^n.

Exemplo: 1,12^1 = 1,120000; 1,12^2 = 1,254400; e assim por diante. 

.

A "perpetuidade descontada" é calculada dividindo a "perpetuidade com crescimento" pelo respectivo "fator de desconto".

. 

(*) Masakazu Hoji é professor da Universidade Presbiteriana Mackenzie.

 

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