Como elaborar os índices e analisar as variações
Masakazu Hoji (*)
Os índices de preços são divulgados mensalmente e, se as variações mensais forem acumuladas em uma tabela com índices mensais, como na Tabela de IGP-M abaixo, facilita e simplifica cálculos e análises de variações de determinados períodos, bem como torna possível atualizações de valores sem muito trabalho.
A tabela mostra as variações mensais e os números-índices acumulados mensalmente (de forma "capitalizada").
Tabela de IGP-M
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Mês |
IGP-M |
|
|
|
Variação (%) |
Índice |
||
|
Junho/2010 |
1,000000 |
||
|
Julho/2010 |
0,15 |
1,001500 |
(*1) |
|
Agosto/2010 |
0,77 |
1,009212 |
(*2) |
|
Setembro/2010 |
1,15 |
1,020818 |
(*3) |
|
Outubro/2010 |
1,01 |
1,031128 |
|
|
Novembro/2010 |
1,45 |
1,046079 |
(*4) |
|
Dezembro/2010 |
0,69 |
1,053297 |
|
|
Janeiro/2011 |
0,79 |
1,061618 |
|
|
Fevereiro/2011 |
1,00 |
1,072234 |
|
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Março/2011 |
0,62 |
1,078882 |
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Abril/2011 |
0,45 |
1,083737 |
|
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Maio/2011 |
0,43 |
1,088397 |
|
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Junho/2011 |
-0,18 |
1,086438 |
(*5) |
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Julho/2011 |
-0,12 |
1,085134 |
(*6) |
|
Agosto/2011 |
0,44 |
1,089909 |
|
Exemplos de cálculos de índices
Fórmula básica: Índice Atual = Índice Anterior x (1 + Variação)
(*1) 1,000000 x (0,15 / 100 + 1)
1,000000 x 1,0015 = 1,001500
(*2) 1,001500 x (0,77 / 100 + 1)
1,001500 x 1,0077 = 1,009212
(*3) 1,009212 x (1,15 / 100 + 1)
1,009212 x 1,0115 = 1,020818
(*5) 1,088397 x (-0,18 / 100 + 1)
1,088397 x 0,9982 = 1,086438
Exemplos de cálculos de variações (resultados em %)
Fórmula básica: [(Índice Atual / Índice Anterior) - 1] x 100
(*4) [(1,046079 / 1,031128) - 1] x 100
[1,0145 - 1] x 100 = 1,45%
(*6) [(1,085134 / 1,086438) - 1] x 100
[0,9988 - 1] x 100 = -0,12%
Nota: os cálculos são feitos em forma unitária e o resultado é multiplicado por 100 para expressar em "por cento".
As fórmulas básicas para cálculo de índice e de variação estão aplicadas nos exemplos da Tabela 1.
Vale lembrar que a fórmula básica para cálculo de índices segue o mesmo raciocínio da fórmula do valor futuro, ou seja, Valor futuro = Valor presente x (1 + Taxa de juros)^n. Nesse caso, como o termo n será sempre 1, pois o índice é atualizado a cada "um período de um mês", a equação pode ser reescrita como segue: Valor futuro = Valor presente x (1 + Taxa de juros do período). Substituindo as variáveis correspondentes na nossa fórmula, temos:
Índice atual = Índice anterior x (1 + Variação)
Como consequência, para calcular a taxa de variação em percentual de um período (de um mês), temos:
Variação = (Índice atual / Índice anterior) - 1
Agora, será possível responder a algumas questões.
(a) Qual foi a variação do 1º bimestre de 2011?
R: 1,80%
Cálculo: [(1,072234 / 1,053297) - 1] x 100 = 1,80% OU [(0,79/100 + 1) x (1/100 + 1) - 1] x 100 = 1,80%
Existem duas formas para calcular a variação de um período. Em uma das formas, capitaliza-se o fator de juro de janeiro/2011 e de fevereiro/2011; e depois, deduz-se o "1" do fator acumulado, multiplicando o resultado por 100 para expressar em "por cento". Porém, a forma mais prática é dividir o índice de fevereiro/2011 pelo índice de dezembro/2010 (índice do mês anterior), diminuir 1 do resultado e multiplicar por 100 para expressar em porcento.
(b) Qual foi a variação do 1º semestre de 2011?
R: 3,15%
Cálculo: [(1,086438 / 1,053297) - 1] x 100 = 3,15% OU [(0,79/100 + 1) x (1,00/100 + 1) x ... x (-0,18/100 + 1) - 1] x 100 = 3,15%
Também para responder a esta questão (como nas demais), pode ser utilizada uma das formas descritas na questão "a".
(c) Qual foi a variação do 3º quadrimestre de 2010?
R: 4,37%
Cálculo: [(1,053297 / 1,009212) - 1] x 100 = 4,37%
(d) Qual foi a variação acumulada do ano de 2011 conhecido?
R: 3,48%
Cálculo: [(1,089909 / 1,053297) - 1] x 100 = 3,48%
(e) Qual foi a variação acumulada dos meses de maio, junho, julho e agosto de 2011?
R: 0,57%
Cálculo: [(1,089909 / 1,083737) - 1] x 100 = 0,57%
(f) Temos o índice de 1,086438 em junho de 2011 e índice de 1,031128 em outubro de 2010. A variação calculada com base nesses dois índices é de 5,36% e reflete as variações mensais acumuladas dos meses de novembro/2010 a junho/2011.
(g) Um produto custava R$ 100,00 no final de abril/2011 e foi atualizado mensalmente de acordo com a variação do índice do respectivo mês. Então, ele custava R$ 100,43 em maio/2011; R$ 100,25 em junho/2011 e R$ 100,13 em julho/2011.
(h) Em janeiro de 2011 (no final do mês), um investidor aplicou R$ 10.000,00 em um fundo que prometia remuneração de IGP-M + 5% a.a. e resgatou em agosto/2011. (h.1) Qual foi o valor resgatado? (h.2) Qual foi o ganho ou perda nominal? (h.3) E o ganho ou perda "real", isto é, deduzida da variação do IGP-M?
Dados e cálculos
Valor aplicado: R$ 10.000,00
Índice de janeiro/2011: 1,061618
Índice de agosto/2011: 1,089909
Fator de variação do período: 1,026649
Cálculo: 1,089909 / 1,061618 = 1,026649
Valor corrigido pelo IGP-M: R$ 10.266,49
Cálculo: R$ 10.000,00 x 1,026649 = R$ 10.266,49
Fator de juros do período: 1,028870
Cálculo: 1,05^(7/12) = 1,028870
h.1) Montante resgatado em agosto/2011: R$ 10.562,88
Cálculo: R$ 10.266,49 x 1,028870 = R$ 10.562,88
h.2) Ganho (perda) nominal em R$: R$ 562,88
Cálculo: R$ 10.562,88 - R$ 10.000,00 = R$ 562,88
Ganho (perda) nominal em percentual: 5,63%
Cálculo: R$ 562,88 / R$ 10.000,00 = 5,63%
h.3) Ganho (perda) "real" (em R$): R$ 296,39
Cálculo: R$ 10.562,88 - R$ 10.266,49 = R$ 296,39
Ganho (perda) "real" (em percentual): 2,89%
Cálculo: R$ 296,39 / R$ 10.266,49 = 2,89%
Resumo
Fator de correção do período: 1,026649
Fator de juro do período: 1,028870
Fator de remuneração do período: 1,056288
Cálculo: 1,026649 x 1,028870 = 1,056288
Taxa de remuneração (nominal) do período: 5,63%
Cálculo: (1,056288 - 1) x 100 = 5,63%
Para mais informações: HOJI, Masakazu. Administração financeira e orçamentária. 11. ed. São Paulo: Atlas, 2014.
(*) Masakazu Hoji é professor da Universidade Presbiteriana Mackenzie.