DIA UM DE JANEIRO ou DIA PRIMEIRO DE JANEIRO?

Correto: dia primeiro de janeiro.

De acordo com a norma oficial, o primeiro dia de cada mês deve ser escrito, por extenso, como "primeiro" e não como "um". Logo, não existe "dia um". 

Existe "dia primeiro" no início de cada mês.

Exemplos:

1-1-2014 = primeiro de janeiro de 2014.

1-5-2010 = primeiro de maio de 2010.