O conceito de perpetuidade é utilizado principalmente em análises de investimentos e valuation (avaliação de empresa), para conhecer a soma do valor atual dos infinitos valores futuros.
Apesar de o conceito de perpetuidade parecer complexo, seu mecanismo e as fórmulas para calcular o valor presente de uma perpetuidade são bastante simples. As fórmulas, com e sem taxa de crescimento, são as seguintes:
Valor presente da perpetuidade sem crescimento |
= |
Perpetuidade |
Taxa de desconto |
||
Valor presente da perpetuidade com crescimento |
= |
Perpetuidade |
Taxa de desconto - Taxa de crescimento |
Ao aplicar a fórmula, o valor presente da perpetuidade (VPP) é calculado para o período inicial (período zero), assumindo que a primeira perpetuidade inicia-se no período 1 (período seguinte).
O mais incrível é que essa fórmula simples funciona eficientemente e pode ser comprovada matematicamente.
Perpetuidade sem crescimento
Suponha que uma empresa projeta um lucro anual constante de R$ 1.000, sem crescimento. Temos aí um caso de perpetuidade no valor de R$ 1.000. Conhecendo o custo de oportunidade ou taxa de desconto (suponha uma taxa de 12% ao ano), o VPP pode ser calculado de acordo com a fórmula apresentada.
VPP sem crescimento = |
1.000 |
= 8.333 |
0,12 |
Nessas condições, o valor da empresa é de R$ 8.333.
Conforme mostra o gráfico abaixo, o valor fixo de R$ 1.000 tende ao infinito (N indica uma data tendendo ao infinito), e cada uma das parcelas infinitas da perpetuidade é descontada para o momento inicial (resultando em valor presente). A soma dessas parcelas descontadas é de R$ 8.333.
Representação gráfica de perpetuidade sem crescimento
Perpetuidade com crescimento
Suponha, agora, que o lucro de R$ 1.000 do Ano 1 tenha perspectiva de crescimento constante de 2%. Nesse caso, temos uma perpetuidade no valor de R$ 1.000 com taxa de crescimento de 2%. O VPP calculado de acordo com a fórmula é R$ 10.000.
VPP com crescimento = |
1.000 |
= 10.000 |
0,12 - 0,02 |
O gráfico abaixo mostra que cada uma das parcelas da perpetuidade, que iniciou com R$ 1.000, sofreu crescimento de 2% sobre o valor anterior, a cada período, indefinidamente. E cada um desses valores é descontado para o momento inicial, cuja soma é R$ 10.000.
Representação gráfica de perpetuidade com crescimento
Comprovação matemática da fórmula de perpetuidade
Vamos comprovar a fórmula da perpetuidade utilizando o exemplo da perpetuidade com taxa de crescimento. Vamos descontar cada um dos valores calculados com acréscimo anual de 2%, conforme mostra a representação gráfica.
No quadro a seguir, vamos fazer os cálculos para o período de 140 anos. Depois de atualizados os valores com a taxa de crescimento, é só calcular o valor presente de cada um deles para o Ano zero (data do valor presente). Se somar os valores da coluna "perpetuidade descontada", o total será de R$ 10.000, o que comprova que a fórmula da perpetuidade funciona matematicamente.
Em função da capitalização composta da taxa de desconto, o fator de desconto vai ficando tão grande que o valor presente da perpetuidade tende a zero. Conforme pode ser observado no quadro, no Ano 74, o valor descontado vale menos de R$ 1, e no Ano 131, o valor descontado é zero.
Ano |
Perpetuidade com crescimento |
Fator de desconto |
Perpetuidade descontada |
0 |
1,000000 |
- |
|
1 |
1.000,00 |
1,120000 |
892,86 |
2 |
1.020,00 |
1,254400 |
813,14 |
3 |
1.040,40 |
1,404928 |
740,54 |
4 |
1.061,21 |
1,573519 |
674,42 |
5 |
1.082,43 |
1,762342 |
614,20 |
6 |
1.104,08 |
1,973823 |
559,36 |
7 |
1.126,16 |
2,210681 |
509,42 |
8 |
1.148,69 |
2,475963 |
463,93 |
9 |
1.171,66 |
2,773079 |
422,51 |
10 |
1.195,09 |
3,105848 |
384,79 |
11 |
1.218,99 |
3,478550 |
350,43 |
12 |
1.243,37 |
3,895976 |
319,14 |
13 |
1.268,24 |
4,363493 |
290,65 |
14 |
1.293,61 |
4,887112 |
264,70 |
15 |
1.319,48 |
5,473566 |
241,06 |
16 |
1.345,87 |
6,130394 |
219,54 |
17 |
1.372,79 |
6,866041 |
199,94 |
18 |
1.400,24 |
7,689966 |
182,09 |
19 |
1.428,25 |
8,612762 |
165,83 |
20 |
1.456,81 |
9,646293 |
151,02 |
21 |
1.485,95 |
10,803848 |
137,54 |
22 |
1.515,67 |
12,100310 |
125,26 |
23 |
1.545,98 |
13,552347 |
114,07 |
24 |
1.576,90 |
15,178629 |
103,89 |
25 |
1.608,44 |
17,000064 |
94,61 |
26 |
1.640,61 |
19,040072 |
86,17 |
27 |
1.673,42 |
21,324881 |
78,47 |
28 |
1.706,89 |
23,883866 |
71,47 |
29 |
1.741,02 |
26,749930 |
65,09 |
30 |
1.775,84 |
29,959922 |
59,27 |
31 |
1.811,36 |
33,555113 |
53,98 |
32 |
1.847,59 |
37,581726 |
49,16 |
33 |
1.884,54 |
42,091533 |
44,77 |
34 |
1.922,23 |
47,142517 |
40,77 |
35 |
1.960,68 |
52,799620 |
37,13 |
36 |
1.999,89 |
59,135574 |
33,82 |
37 |
2.039,89 |
66,231843 |
30,80 |
38 |
2.080,69 |
74,179664 |
28,05 |
39 |
2.122,30 |
83,081224 |
25,54 |
40 |
2.164,74 |
93,050970 |
23,26 |
41 |
2.208,04 |
104,217087 |
21,19 |
42 |
2.252,20 |
116,723137 |
19,30 |
43 |
2.297,24 |
130,729914 |
17,57 |
44 |
2.343,19 |
146,417503 |
16,00 |
45 |
2.390,05 |
163,987604 |
14,57 |
46 |
2.437,85 |
183,666116 |
13,27 |
47 |
2.486,61 |
205,706050 |
12,09 |
48 |
2.536,34 |
230,390776 |
11,01 |
49 |
2.587,07 |
258,037669 |
10,03 |
50 |
2.638,81 |
289,002190 |
9,13 |
51 |
2.691,59 |
323,682453 |
8,32 |
52 |
2.745,42 |
362,524347 |
7,57 |
53 |
2.800,33 |
406,027269 |
6,90 |
54 |
2.856,33 |
454,750541 |
6,28 |
55 |
2.913,46 |
509,320606 |
5,72 |
56 |
2.971,73 |
570,439078 |
5,21 |
57 |
3.031,17 |
638,891768 |
4,74 |
58 |
3.091,79 |
715,558780 |
4,32 |
59 |
3.153,62 |
801,425833 |
3,94 |
60 |
3.216,70 |
897,596933 |
3,58 |
61 |
3.281,03 |
1.005,308566 |
3,26 |
62 |
3.346,65 |
1.125,945593 |
2,97 |
63 |
3.413,58 |
1.261,059065 |
2,71 |
64 |
3.481,86 |
1.412,386152 |
2,47 |
65 |
3.551,49 |
1.581,872491 |
2,25 |
66 |
3.622,52 |
1.771,697189 |
2,04 |
67 |
3.694,97 |
1.984,300852 |
1,86 |
68 |
3.768,87 |
2.222,416954 |
1,70 |
69 |
3.844,25 |
2.489,106989 |
1,54 |
70 |
3.921,14 |
2.787,799828 |
1,41 |
71 |
3.999,56 |
3.122,335807 |
1,28 |
72 |
4.079,55 |
3.497,016104 |
1,17 |
73 |
4.161,14 |
3.916,658036 |
1,06 |
74 |
4.244,36 |
4.386,657001 |
0,97 |
75 |
4.329,25 |
4.913,055841 |
0,88 |
76 |
4.415,84 |
5.502,622542 |
0,80 |
77 |
4.504,15 |
6.162,937247 |
0,73 |
78 |
4.594,24 |
6.902,489716 |
0,67 |
79 |
4.686,12 |
7.730,788482 |
0,61 |
80 |
4.779,84 |
8.658,483100 |
0,55 |
81 |
4.875,44 |
9.697,501072 |
0,50 |
82 |
4.972,95 |
10.861,20120 |
0,46 |
83 |
5.072,41 |
12.164,54534 |
0,42 |
84 |
5.173,86 |
13.624,29079 |
0,38 |
85 |
5.277,33 |
15.259,20568 |
0,35 |
86 |
5.382,88 |
17.090,31036 |
0,31 |
87 |
5.490,54 |
19.141,14761 |
0,29 |
88 |
5.600,35 |
21.438,08532 |
0,26 |
89 |
5.712,35 |
24.010,65556 |
0,24 |
90 |
5.826,60 |
26.891,93422 |
0,22 |
91 |
5.943,13 |
30.118,96633 |
0,20 |
92 |
6.062,00 |
33.733,24229 |
0,18 |
93 |
6.183,24 |
37.781,23136 |
0,16 |
94 |
6.306,90 |
42.314,97913 |
0,15 |
95 |
6.433,04 |
47.392,77662 |
0,14 |
96 |
6.561,70 |
53.079,90982 |
0,12 |
97 |
6.692,93 |
59.449,49900 |
0,11 |
98 |
6.826,79 |
66.583,43888 |
0,10 |
99 |
6.963,33 |
74.573,45154 |
0,09 |
100 |
7.102,59 |
83.522,26573 |
0,09 |
101 |
7.244,65 |
93.544,93761 |
0,08 |
102 |
7.389,54 |
104.770,3301 |
0,07 |
103 |
7.537,33 |
117.342,7697 |
0,06 |
104 |
7.688,08 |
131.423,9021 |
0,06 |
105 |
7.841,84 |
147.194,7704 |
0,05 |
106 |
7.998,67 |
164.858,1428 |
0,05 |
107 |
8.158,65 |
184.641,1199 |
0,04 |
108 |
8.321,82 |
206.798,0543 |
0,04 |
109 |
8.488,26 |
231.613,8209 |
0,04 |
110 |
8.658,02 |
259.407,4794 |
0,03 |
111 |
8.831,18 |
290.536,3769 |
0,03 |
112 |
9.007,81 |
325.400,7421 |
0,03 |
113 |
9.187,96 |
364.448,8312 |
0,03 |
114 |
9.371,72 |
408.182,6909 |
0,02 |
115 |
9.559,16 |
457.164,6138 |
0,02 |
116 |
9.750,34 |
512.024,3675 |
0,02 |
117 |
9.945,35 |
573.467,2916 |
0,02 |
118 |
10.144,25 |
642.283,3666 |
0,02 |
119 |
10.347,14 |
719.357,3705 |
0,01 |
120 |
10.554,08 |
805.680,2550 |
0,01 |
121 |
10.765,16 |
902.361,8856 |
0,01 |
122 |
10.980,47 |
1.010.645,312 |
0,01 |
123 |
11.200,08 |
1.131.922,749 |
0,01 |
124 |
11.424,08 |
1.267.753,479 |
0,01 |
125 |
11.652,56 |
1.419.883,897 |
0,01 |
126 |
11.885,61 |
1.590.269,964 |
0,01 |
127 |
12.123,32 |
1.781.102,360 |
0,01 |
128 |
12.365,79 |
1.994.834,643 |
0,01 |
129 |
12.613,10 |
2.234.214,800 |
0,01 |
130 |
12.865,37 |
2.502.320,577 |
0,01 |
131 |
13.122,67 |
2.802.599,046 |
0,00 |
132 |
13.385,13 |
3.138.910,931 |
0,00 |
133 |
13.652,83 |
3.515.580,243 |
0,00 |
134 |
13.925,89 |
3.937.449,872 |
0,00 |
135 |
14.204,40 |
4.409.943,857 |
0,00 |
136 |
14.488,49 |
4.939.137,120 |
0,00 |
137 |
14.778,26 |
5.531.833,574 |
0,00 |
138 |
15.073,83 |
6.195.653,603 |
0,00 |
139 |
15.375,30 |
6.939.132,035 |
0,00 |
140 |
15.682,81 |
7.771.827,879 |
0,00 |
SOMA |
10.000 |
.
A "perpetuidade com crescimento" foi calculada como segue:
perpetuidade atual = perpetuidade anterior x (1 + taxa de crescimento)
Exemplo: R$ 1.000,00 x 1,02 = R$ 1.020,00; R$ 1.020,00 x 1,02 = R$ 1.040,40; e assim por diante.
.
O "fator de desconto" é calculado com a clássica fórmula: (1 + i)^n.
Exemplo: 1,12^1 = 1,120000; 1,12^2 = 1,254400; e assim por diante.
.
A "perpetuidade descontada" é calculada dividindo a "perpetuidade com crescimento" pelo respectivo "fator de desconto".
.
(*) Masakazu Hoji é professor da Universidade Presbiteriana Mackenzie.